\subsection{三角形全等的判定 II}\label{subsec:czjh1-3-6}

现在研究三角形全等的另一个判定方法。

画一个三角形，使它的两个角分别等于 $30^\circ$ 和 $45^\circ$， 它们所夹的边的长等于 2.5 cm。

\huafa 1. 画线段 $BC = 2.5 \;\limi$ （图 \ref{fig:czjh1-3-21}）。

2. 在 $BC$ 的同旁，分别以 $B$、$C$ 为顶点， 画 $\angle CBD = 30^\circ$、
$\angle BCE = 45^\circ$，$BD$ 和 $CE$ 相交于 $A$。

$\triangle ABC$ 就是所求的三角形。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-21}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-21}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{9cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-22}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-22}
    \end{minipage}
\end{figure}


如果按照上面的条件，用同样的方法另画一个 $\triangle A'B'C'$，
再把 $\triangle A'B'C'$ 剪下来放到 $\triangle ABC$ 上，
$\triangle A'B'C'$ 与 $\triangle ABC$ 能够完全重合。
所以，只要是按上面条件画出的三角形，总是全等的。我们也把这个事实作为公理：

\begin{gongli}[角边角公理]
    有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
\end{gongli}（可以简写成 “\zhongdian{角边角}” 或 “$\bm{ASA}$” ） 。

例如， 在图 \ref{fig:czjh1-3-22} 的 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 中，如果
$\angle B = \angle B'$， $BC = B'C'$， $\angle C = \angle C'$，那么
$$ \triangle ABC \quandeng \triangle A'B'C' \juhao $$

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 中， 如果 $AB = A'B'$，$\angle B = \angle B'$，
$\angle C = \angle C'$( 图 \ref{fig:czjh1-3-22}）， 那么， 由三角形内角和定理可得 $\angle A = \angle A'$。
根据角边角公理， $\triangle ABC \quandeng \triangle A'B'C'$。因此，有下面推论：

\begin{tuilun}[推论]
    有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
\end{tuilun}（可以简写成 “\zhongdian{角角边}” 或 “$\bm{AAS}$” ） 。


\liti  已知：点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 在 $AC$ 上，$BE$ 和 $CD$ 相交于点 $O$，
$AB = AC$， $\angle B= \angle C$ （图 \ref{fig:czjh1-3-23}）。

求证： $BD = CE$。

分析： $BD$ 和 $CE$ 分别在 $\triangle BOD$ 和 $\triangle COE$ 中，
由已知条件不能直接证明 $\triangle BOD \quandeng \triangle COE$。
但已知 $AB = AC$，$AB$、$BD$ 及 $AC$、$CE$ 分别在一条直线上，
如果能证 $AD = AE$，就可以得到 $BD = CE$。
而 $AD$ 和 $AE$ 分别在 $\triangle ADC$ 和 $\triangle AEB$ 中，
可由已知条件证得 $\triangle ADC \quandeng \triangle AEB$。

\begin{wrapfigure}[7]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch3-23}
    \caption{}\label{fig:czjh1-3-23}
\end{wrapfigure}

\zhengming 在 $\triangle ADC$ 和 $\triangle AEB$ 中，

\hspace{2em}$\begin{cases}
    \angle A = \angle A &\text{（公共角），} \\
    AC = AB & \text{（已知），} \\
    \angle C = \angle B & \text{（已知），} \\
\end{cases}$

$\therefore$ \quad  $\triangle ACD \quandeng \triangle ABE$ （$ASA$）。

$\therefore$ \quad $AD = AE$ （全等三角形对应边相等）。

又 $\because$ \quad $AB = AC$ （已知），

$\therefore$ \quad $BD = CE$ （等式性质）。


\liti 求证：全等三角形对应角的平分线相等。

已知：$\triangle ABC \quandeng \triangle A'B'C'$， $AD$、$A'D"$ 分别是
$\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 的角平分线（图 \ref{fig:czjh1-3-24}）。

求证：$AD = A'D'$。

\zhengming $\because$ \quad $\triangle ABC \quandeng \triangle A'B'C'$ （已知），

\begin{minipage}[b]{2em}$\therefore$ \\ \phantom{a} \end{minipage} %  为了让 “所以” 符号与 “AB = A'B'” 同行显示
% \quad
$\left.\begin{aligned}
    & AB = A'B' \\
    & \angle B = \angle B' \\
    & \angle BAC = \angle B'A'C'
\end{aligned} \right\} \qquad \text{（全等三角形对应边、对应角相等）。}$

\begin{enhancedline}
$\because$ \quad $\begin{aligned}[t]
    &\angle 1 = \exdfrac{1}{2} \angle BAC \quad \text{（已知），} \\
    &\angle 2 = \exdfrac{1}{2} \angle B'A'C' \quad \text{（已知），} \\
\end{aligned}$

$\therefore$ \quad $\angle 1 = \angle 2$（等量代换）。
\end{enhancedline}

在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle A'B'D'$ 中，

\hspace{2em}$\begin{cases}
    \angle B = \angle B' & \text{（已证），} \\
    AB = A'B' & \text{（已证），} \\
    \angle 1 = \angle 2 & \text{（已证），} \\
\end{cases}$

$\therefore$ \quad $\triangle ABD \quandeng \triangle A'B'D'$ （$ASA$）。

$\therefore$ \quad $AD = A'D'$ （全等三角形对应边相等）。


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{9cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-24}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-24}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec6-lx-01}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\begin{lianxi}

\xiaoti{已知：如图，$AB \perp BC$，$AD \perp BC$，垂足分别为 $B$、$D$，$\angle 1 = \angle 2$。\\
    求证： $AB = AD$。
}

\xiaoti{求证：全等三角形对应边上的高相等。}

\end{lianxi}

